Modelo matemático aplicado a la medicina | Jazmin Pantaleón

Modelo SIR

Modelo matemático aplicado a la medicina

Por Jazmin Pantaleón

La humanidad, a través de su historia, ha sido marcada por grandes epidemias como  son la peste negra o la viruela, las cuales acabaron con la vida de millones de personas. El estudio de estas enfermedades infecciosas constituye una parte muy importante dentro de la medicina preventiva, y nos permite integrar varias disciplinas, métodos y modelos con el fin de obtener conocimientos que servirán para realizar recomendaciones de salud pública.

Una de las disciplinas que sirve de apoyo en el estudio de enfermedades infecciosas son las matemáticas. La modelización matemática es una herramienta que cada vez se utiliza más en epidemióloga, y consiste en la relación entre ciertos objetos matemáticos y una situación o fenómeno de naturaleza no matemática.

El modelo SIR es uno de los modelos matemáticos más simples aplicados a la epidemiologia, capaces de capturar muchas de las características típicas de los brotes epidémicos. El modelo relaciona tres variables poblacionales a través de la tasa de infección y el período infeccioso promedio. Consiste de un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales que no poseen una solución explicita. Pero, utilizando diferentes herramientas matemáticas podemos obtener informaciones acerca de las soluciones del sistema.

El modelo divide a la población en 3 compartimientos:

• §  S(t): Números de individuos sanos que son susceptibles a la infección, en función del tiempo.
• §  I(t): Número de individuos infectados, que pueden transmitir la infección al grupo S(t) , en función del tiempo .
• §  R(t): Número de individuos retirados, es decir, que han superado la enfermedad y se han vuelto inmune o los que han muerto, en función del tiempo.

El modelo, además, se basa en las siguientes suposiciones:

• §  La población se mantiene constante. Lo que quiere decir que se desprecia la dinámica demográfica. Si denotamos por N a la población total de individuos que tenemos, entonces: N = S(t) + I(t) + R(t).
• §  Las enfermedad se transmite por contacto directo entre las personas.

• §  Los individuos del grupo I(t) se acaban recuperando de la enfermedad y adquieren la inmunidad o mueren (pasando en ambos casos al grupo R(t)).

• §  Al inicio de la epidemia solamente una fracción de la población era contagiosa

A partir de las hipótesis explicadas es posible formular el modelo. La tasa de infección viene dada por βS(t)I(t) donde β es la tasa per-cápita de transmisión de la enfermedad. Y el flujo de paso del compartimento de infectados al de retirados viene determinado por νI(t) donde ν > 0 es la tasa de retiro.

El sistema de ecuaciones que define el modelo seria:

Donde β > 0, ν > 0 y S(0), I(0), R(0) es el número inicial de personas susceptibles, infectadas y retiradas (respectivamente) en una población de N = S(0) + I(0) + R(0) habitantes.

Un ejemplo resuelto del modelo seria:

Grafico de las soluciones S(t), I(t) y R(t) del sistema de EDO’s tomando como parámetros β = 0.0022 y ν = 0.4477 y como valores iniciales S(0) = 763, I(0) = 1 y R(0) = 0.

(Piñera, 2014)

Trabajos citados

Piñera, A. G. (2014). MODELOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARA LA            PROPAGACION DE ENFERMEDADES INFECCIOSAS. Santander, España.             https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/7125/Andrea%20Garcia%20P    i%C3%B1era.pdf?sequence=1

Ensayo escrito por Jazmin Pantaleón 17-0096, estudiante de medicina, cursando la materia de Matematica I con el profesor Ramon Alberto Mena.